五大悖论,挑战智商极限

NO.1——说谎者悖论(1iar paradox or Epimenides’ paradox)

最古老的语义悖论。公元前6世纪古希腊哲学家伊壁孟德所创的四个悖论之一。是关于“我正在撒谎”的悖论。

具体为:他说:“所有的克里特人都是撒谎者”。

如果他说的是实话,那么克里特人都是撒谎者,而伊壁孟德是克里特人,他必然说了假话。他撒谎了吗?如果他确实撒了谎,那么克里特人就都不是说谎的人,因而伊壁孟德也必然说了真话。他怎么会既撒谎,同时又说真话呢?

哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论,并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道:“自亚里士多德以来,无论哪一个学派的逻辑学家,从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的,但是指不出纠正的方法是什么。在1903年的春季,其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。”

他说:谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾:“那个说谎的人说:‘不论我说什么都是假的’。事实上,这就是他所说的一句话,但是这句话是指他所说的话的总体。只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。”(同上)

罗素试图用命题分层的办法来解决:“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些命题;第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题;其余仿此,以至无穷。”但是这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期,我差不多完全是致力于这一件事,但是毫不成功。”

NO.2——伊勒克特拉悖论(Eletra paradox)

逻辑史上最早的内涵悖论。由古希腊斯多亚学派提出。它的基本内容是:伊勒克特拉有位哥哥奥列斯特回家了。尽管伊勒克特拉知道奥列斯特是她的哥哥。但她并不认识站在她面前的这个男人。

写成一个推理.即:

伊勒克特拉不知道站在她面前的这个人是她的哥哥。

伊勒克特拉知道奥列期特是她的哥哥。

站在她面前的人是奥列期特。

所以,伊勒克持拉既知道并且又不知道这个人是她的哥哥。

NO.3——理发师悖论

著名的理发师悖论是伯特纳德·罗素提出的。一个理发师的招牌上写着:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”

可是,有一天这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了,他本能地抓起了剃刀,你们看他能不能给他自己刮脸呢?

如果他自己刮脸,那他就属于自己刮脸的那类人。但是,他的招牌说明他不给这类人刮脸,因此他不能自己来刮。

如果另外一个人来给他刮脸,那他就是不自己刮脸的人。但是,他的招牌说他要给所有这类人刮脸。因此其他任何人也不能给他刮脸。看来,没有任何人能给这位理发师刮脸了!

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NO.4——唐·吉诃德悖论

世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事:唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上,成了这个岛的国王。他颁布了一条奇怪的法律:每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题:“你到这里来做什么?”如果回答对了,就允许他在岛上游玩,而如果答错了,就要把他绞死。

对于每一个到岛上来的人,或者是尽兴地玩,或者是被吊上绞架。有多少人敢冒死到这岛上去玩呢?

一天,有一个胆大包天的人来了,他照例被问了这个问题,而这个人的回答是:“我到这里来是要被绞死的。”

请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩,还是把他绞死呢?

如果应该让他在岛上游玩,那就与他说“要被绞死”的话不相符合,这就是说,他说“要被绞死”是错话。既然他说错了,就应该被处绞刑。但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢?这时他说的“要被绞死”就与事实相符,从而就是对的,既然他答对了,就不该被绞死,而应该让他在岛上玩。

最终他思索再三,让卫兵把他放了,并且宣布这条法律作废。

NO.5——墨子驳“言尽悖”

庄子《齐物论》中说:“大辩不言…言辩而不及”,大意是说:真理是无法用语言表达清楚的,言语与辩解总是与真理之间存在差异。

作为墨家思想家的墨子,在著作中《墨子·经下》和《墨子·经说下》评击“言尽悖”的说法:“以言为尽悖,悖。说在其言。以悖,不可也。之人之言可,是不悖,则是有可也;之人之言不可,以当,必不审。”

大意是墨子认为,“言尽悖”这句表述本身便是错谬,若以“所有言论都无法表达真理”为前提,那这个前提本身是不是真理?

 

悖论思考

左岸记:

有人说:“提出问题就是解决问题的一半”,而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说:“解决我,不然我将吞掉你的体系!”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样:“必须承认,在这些悖论面前,我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想:在数学这个号称可靠性和真理性的模范里,每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话,那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢?”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。

从数学上看,悖论迫使人们从逻辑和哲学的角度对数学基础问题重新进行了全面而深入的研究,这种努力正是企图给数学以相对更加牢靠的基础;逻辑上看,单以二值逻辑来说,它的值必须或真或假,即不能即真又假,然而,逻辑悖论却破坏了矛盾律和排中律,使命题的值即真又假,无法确定,解决悖论的努力可以说是在企图维护形式逻辑的基本律;哲学上看,人们解决悖论的努力使自己的认识不断深化,从而对相对静止的思维形式和结构,以及它们之间错综复杂的层次和关系做了更进一步的剖析。

解决悖论的过程中,各种理论应运而生了:第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展,这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。

悖论的产生源于其前提为假!悖论进一步表明了逻辑推理的伟大和正确性!


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无觅

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